Der Test f\u00fchrt eine Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe X\u0302\u00b2 ein, welche kleiner sein sollte, als X\u0302\u00b2. \u03b1 bezeichnet dabei das Wahrscheinlichkeitsniveau auf dem gepr\u00fcft wird.<\/p>\n\n\n\n
Zur Berechnung vonwerden folgende Werte ben\u00f6tigt:<\/p>\n\n\n\n
- k<\/em> \u2013 Anzahl der Klassen<\/li>
- b<\/em> \u2013 Klassenbreite<\/li>
- v<\/em> \u2013 Freiheitsgrad ( v<\/em>=k<\/em>-1)<\/li>
- Bi<\/sub><\/em> \u2013 beobachtete H\u00e4ufigkeit einer Kategorie<\/li>
- Pi<\/sub> \u2013 Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr, dass ein zuf\u00e4lliger Wert in der Kategorie i<\/em> liegt<\/li>
- Ei<\/sub><\/em>=n<\/em>*pi<\/sub><\/em> \u2013 ist demnach die erwartete H\u00e4ufigkeit der Kategorie i.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Nun kann man X\u0302\u00b2 wie folgt darstellen:<\/p>\n\n\n\n
\\sum^k_{i=1}\\frac{(B_i-E_i)^2}{E_i}=\\sum^k_{i=1}\\frac{B_i^2}{E_i}-n \\qquad \\text{bzw.} \\\\ \\sum^k_{i=1}\\frac{(n_i-np_i)^2}{np_i}=\\sum^k_{i=1}\\frac{n_i^2}{p_i}-n<\/div>\n\n\n\nUm gegen eine Normalverteilung zu pr\u00fcfen ben\u00f6tigt man noch die Standardnormalverteilungsvariable z<\/em>. z<\/em> ist demnach die Funktionsvariable der Standardnormalverteilungsfunktion:<\/p>\n\n\n\n
f(z) =\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{z^2}{2}}<\/div>\n\n\n\nF\u00fcr einen bestimmten Wert x kann mit Mittelwert und Standardabweichung z<\/em> und damit auch f<\/em>(z<\/em>) berechnet werden. In der Auswertung wird au\u00dferdem noch K<\/em> verwendet, welches multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit die erwartete H\u00e4ufigkeit ergibt.<\/p>\n\n\n\n
E=f(\\hat{z})*K \\quad\\text {mit} \\quad K = nb\/s<\/div>\n\n\n\nIn der zweiten Frage verbirgt sich die Frage nach Konvergenz. Ich werde allerdings nur den Korrelationskoeffizient berechnen und die Steigung der Regressionsgeraden.<\/p>\n\n\n\n
Ich m\u00f6chte n Wertepaare der Form (Xi<\/sub><\/em>|Yi<\/sub><\/em>) auf Konvergenz pr\u00fcfen. Dazu betrachtet man nur die Differenzen der Koordinaten zu deren Mittelwert. Nun summiere ich das Produkt der X<\/em>-Differenz und der Y<\/em>-Differenz auf und teile es durch die Wurzel aus dem Produkt der Summen der Quadrate der Differenzen. Allgemein wird r<\/em> wie folgt ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n\n\n\n
r=\\frac{\\sum \\Delta x_i \\Delta y_i}{\\sqrt{\\sum\\Delta x^2_i \\sum \\Delta y^2_i}}<\/div>\n\n\n\nDer Korrelationskoeffizient ist ein Ma\u00df f\u00fcr die St\u00e4rke einer Linearen Abh\u00e4ngigkeit. Um das Rechnen zu vereinfachen, kann man ihn umformen zu<\/p>\n\n\n\n
r=\\frac{\\sum \\Delta x_i \\Delta y_i}{\\sqrt{\\sum\\Delta x^2_i \\sum \\Delta y^2_i}} \n= \\frac{\\sum (X_i-\\bar X)(Y_i-\\bar Y)} {\\sqrt{\\sum(X_i-\\bar X)^2 \\sum (Y_i-\\bar Y)^2}} \n=\\frac{\\sum XY- \\frac{1}{n}(\\sum X)(\\sum Y)}{\\sqrt {(\\sum X^2 – \\frac{1}{n}[\\sum X]^2)\\left(\\sum Y^2 – \\frac{1}{n} [\\sum Y]^2\\right)}}<\/div>\n\n\n\nBen\u00f6tigt werden jetzt nur noch:<\/p>\n\n\n\n
\\sum X; \\sum X^2; \\sum Y; \\sum Y^2; \\sum XY<\/div>\n\n\n\nAls letztes statistisches Mittel nutze ich den t-Test. Dieser einfache Test pr\u00fcft das sogenannte Fisher-Behrens-Problem, also ob zwei Mittelwerte gleich sind, bei ungleichen Varianzen. (Vgl. Sachs 1992, S.355). Die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe ist dabei t. Gepr\u00fcft wird gegen die Studentverteilung.<\/p>\n\n\n\n
t = \\frac {|\\bar x_1 – \\bar x_2|}{\\sqrt {\\frac {s^2_1}{n_1}+\\frac{s^2_2}{n_2}}}<\/div>\n\n\n\nWenn der Stichprobenumfang ausreichend gro\u00df ist, kann man auch gegen die Standardnormalverteilung pr\u00fcfen, also gegen z.<\/p>\n\n\n\n
Ergebnisse<\/h2>\n\n\n\n
Da die meisten statistischen Tests eine normalverteilte Grundgesamtheit voraussetzen, pr\u00fcfe ich zun\u00e4chst auf Normalverteilung. Ich nutze dazu den X2<\/sup>-Anpassungstest.<\/p>\n\n\n\n
x<\/em><\/td> B<\/em><\/td> Bx<\/em><\/td> Bx\u00b2<\/em><\/td> x-x\u0305<\/em><\/td> \u1e91<\/em><\/td> f(\u1e91)<\/em><\/td> E=f(\u1e91)*K<\/em><\/td> B-E<\/em><\/td> (B-E)\u00b2\/E<\/em><\/td><\/tr> 1:00<\/td> 3<\/td> 3<\/td> 3<\/td> -2,92<\/td> 2,06<\/td> 0,0478<\/td> 5,229<\/td> -2,229<\/td> 0,950<\/td><\/tr> 2:00<\/td> 16<\/td> 32<\/td> 64<\/td> -1,92<\/td> 1,35<\/td> 0,1604<\/td> 17,546<\/td> -1,546<\/td> 0,136<\/td><\/tr> 3:00<\/td> 45<\/td> 135<\/td> 405<\/td> -0,92<\/td> 0,63<\/td> 0,3271<\/td> 35,769<\/td> 10,231<\/td> 2,926<\/td><\/tr> 4:00<\/td> 47<\/td> 188<\/td> 752<\/td> 0,08<\/td> 0,05<\/td> 0,3984<\/td> 43,579<\/td> 3,421<\/td> 0,269<\/td><\/tr> 5:00<\/td> 27<\/td> 135<\/td> 675<\/td> 1,08<\/td> 0,73<\/td> 0,3056<\/td> 33,428<\/td> -6,428<\/td> 1,236<\/td><\/tr> 6:00<\/td> 9<\/td> 54<\/td> 324<\/td> 2,08<\/td> 1,41<\/td> 0,1476<\/td> 16,145<\/td> -7,145<\/td> 3,162<\/td><\/tr> 7:00<\/td> 5<\/td> 35<\/td> 245<\/td> 3,08<\/td> 2,10<\/td> 0,0440<\/td> 4,813<\/td> 0,187<\/td> 0,007<\/td><\/tr> 8:00<\/td> 1<\/td> 8<\/td> 64<\/td> 4,08<\/td> 2,78<\/td> 0,0084<\/td> 1,028<\/td> 1,972<\/td> 3,783<\/td><\/tr> 9:00<\/td> 2<\/td> 18<\/td> 162<\/td> 5,08<\/td> 3,46<\/td> 0,0010<\/td> ^<\/td> <\/td> <\/td><\/tr> \u03a3<\/td> 155<\/td> 608<\/td> 2694<\/td> <\/td> <\/td> <\/td> 204,595<\/td> -48,595<\/td> X\u0302\u00b2=12,469<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n \\bar x = \\frac{\\sum Bx}{n}=\\frac{608}{155}=3.92<\/div>\n\n\n\ns= \\sqrt {\\frac{\\sum Bx^2-\\frac {(\\sum Bx)^2}{n}}{n-1}}=\\sqrt{\\frac{2694-\\frac{608^2}{155}}{154}}=1.417<\/div>\n\n\n\nK=\\frac{nb}{s}=\\frac{155*1}{1.417}=109.386<\/div>\n\n\n\n\\hat X^2=12.469 < 14,07 = X^2_{0.05}<\/div>\n\n\n\nDamit ist gegen die Normalit\u00e4tshypothese nichts einzuwenden. Die Daten k\u00f6nnen also ann\u00e4hernd normalverteilt angenommen werden und die Grundgesamtheit als normalverteilt.<\/p>\n\n\n\n
So wie der Chronotyp sollten auch nat\u00fcrliche Aufwach- und Einschlafzeit normalverteilt sein. Deswegen habe ich auch diese Gr\u00f6\u00dfen auf Normalverteilung untersucht und kam zu folgendem Ergebnis:<\/p>\n\n\n\n
<\/td> nat\u00fcrliche Einschlafzeit<\/td> Chronotyp<\/td> nat\u00fcrliche Aufwachzeit<\/td><\/tr> Anzahl Klassen<\/td> 7<\/td> 8<\/td> 7<\/td><\/tr> Mittelwert<\/td> 23:59 Uhr<\/td> 3:55 Uhr<\/td> 7:54 Uhr<\/td><\/tr> Standardabweichung<\/td> 1,79h<\/td> 1,42h<\/td> 1,20h<\/td><\/tr> X<\/em>\u00b2<\/td> 5,92<\/td> 12,469<\/td> 8,62<\/td><\/tr> Satistische Signifikanz<\/td> 50%<\/td> 95%<\/td> 90%<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n Die statistische Signifikanz der Einschlafzeit war \u00fcberraschend gering. Wahrscheinlich wird die Normalverteilung durch sekund\u00e4re Faktoren verzerrt, die ich zur Zeit nicht \u00fcberblicken kann (Abendessen mit der Familie, Training im Verein\u2026). F\u00fcr die nat\u00fcrliche Aufwachzeit dagegen kann ich die Normalit\u00e4tshypothese annehmen.<\/p>\n\n\n\n
Nun gibt es noch weitere Gr\u00f6\u00dfen: Schlafdauer, pers\u00f6nliche Zeit am Morgen und Schulweg sind alle nach unten begrenzt. Keine der Gr\u00f6\u00dfen kann kleiner 0 werden. Deswegen k\u00f6nnen diese Gr\u00f6\u00dfen nicht normalverteilt sein. Wahrscheinlicher ist eine logarithmische Normalverteilung. Da die meisten statistischen Tests aber eine ann\u00e4hernde Normalverteilung voraussetzen, habe ich trotzdem \u00fcberpr\u00fcft, ob ich diese Gr\u00f6\u00dfen vereinfachend als ann\u00e4hernd normalverteilt voraussetzen kann.<\/p>\n\n\n\n
<\/td> Schlafdauer<\/td> Pers\u00f6nliche Zeit am Morgen<\/td> Schulweg<\/td><\/tr> Anzahl Klassen<\/td> 6<\/td> 7<\/td> 8<\/td><\/tr> Mittelwert<\/td> 7:58h<\/td> 68,84 min<\/td> 29,74<\/td><\/tr> Standardabweichug<\/td> 1,24h<\/td> 23,82 min<\/td> 17,44 min<\/td><\/tr> X\u00b2<\/em><\/td> 5,84<\/td> 3,28<\/td> 9,17<\/td><\/tr> Statistische Signifikanz<\/td> 70%<\/td> 70%<\/td> 80%<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n Man sieht, dass es sich um keine exakten Normalverteilungen handelt. W\u00e4hrend ich den Schulweg noch als ann\u00e4hernd normalverteilt annehmen kann, kann ich das f\u00fcr die Schlafdauer und die pers\u00f6nliche Zeit am Morgen nicht.<\/p>\n\n\n\n
1. Beginnt die Schule zu zeitig? Und wenn ja, was w\u00e4re ein optimaler Schulbeginn?<\/h4>\n\n\n\n
Als optimalen Schulbeginn lege ich die fr\u00fcheste Zeit fest, zu der ein Sch\u00fcler ausgeschlafen in der Schule sein kann.<\/p>\n\n\n\n
Dazu berechne ich f\u00fcr jeden Teilnehmer die Summe aus nat\u00fcrlichem Aufwachzeitpunkt und Dauer des Schulwegs. In der Woche ist zwischen Aufwachzeitpunkt und Schulbeginn minus Dauer des Schulwegs im Durchschnitt noch eine Stunde Differenz. Diese wird zum Fr\u00fchst\u00fccken, im Bad oder in der Schule zur Vorbereitung auf den Unterricht genutzt. Ich nenne diese Zeit \u201epers\u00f6nliche Zeit am Morgen\u201c. Ich vermute, dass diese Zeit sich \u00e4ndern w\u00fcrde, w\u00fcrde die Schule zu einer anderen Zeit beginnen. Zum Beispiel br\u00e4uchten manche Sch\u00fcler bei einem zeitigerem Beginn dann l\u00e4nger, um munter zu werden, andere w\u00fcrden lieber l\u00e4nger schlafen als zu fr\u00fchst\u00fccken.<\/p>\n\n\n\n
Genauso kann man auch einen Zusammenhang zwischen Schulweg und Chronotypen vermuten. Sch\u00fcler, die eine sp\u00e4ten Chronotypen haben nehmen lange Schulwege vielleicht nicht so gerne in Kauf wie Menschen mit einem zeitigem Chronotyp. Daf\u00fcr gehen Sch\u00fcler mit einem sp\u00e4ten Chronotypen, die in der N\u00e4he der Schule wohnen lieber auf unsere Schule als einen l\u00e4ngeren Weg zu einer anderen. So lie\u00dfen sich auf jeden Fall Zusammenh\u00e4nge erkl\u00e4ren.<\/p>\n\n\n\n
Um diese Fehler zu vermeiden betrachte ich zun\u00e4chst verschiedene Varianten. Einmal nehme ich f\u00fcr jeden Sch\u00fcler unver\u00e4ndert die Zeit, die er bisher brauchte vom Aufstehen bis zum Schulbeginn. Dieser Fall gilt auch kurzfristig f\u00fcr die Zukunft. Einmal rechne ich mit dem individuellem Schulweg wie bisher, aber berechne f\u00fcr die pers\u00f6nliche Zeit am Morgen den Durchschnitt (ca. 67 min) und wende diese auf alle an. Diese Variante gilt eher mittelfristig, da die Sch\u00fcler auch in den n\u00e4chsten Jahren denselben Schulweg zu bew\u00e4ltigen haben. In der letzten Variante rechne ich f\u00fcr alle Sch\u00fcler mit dem allgemeinen Durchschnitt der pers\u00f6nlichen Zeit und des Schulwegs (ca. 1h 34 min). Auch hier vereinfache ich zu 1:30h. Die letzte Variante bietet die besten langfristigen Prognosen, da neue Sch\u00fcler eingeschult werden und alte Sch\u00fcler entlassen. Damit \u00e4ndern sich auch die Schulwege.<\/p>\n\n\n\n
M\u00f6glich w\u00e4re, dass bei sp\u00e4terem Schulbeginn Sch\u00fcler, welche weiter entfernt wohnen, sich doch f\u00fcr unsere Schule entscheiden. Dadurch k\u00f6nnte sich der Durchschnitt des Schulweges insgesamt erh\u00f6hen. Andererseits gelten Bestimmungen der Schulbeh\u00f6rde, welche ich nicht \u00fcberblicke, welcher Sch\u00fcler in welche Schule eingeschult werden darf. So bleibt mir nicht anderes \u00fcbrig, als von den aktuellen erhobenen Daten auszugehen.<\/p>\n\n\n\n
Variante A: Ich nehme f\u00fcr alle Sch\u00fcler die durchschnittliche pers\u00f6nliche Zeit am Morgen an. Der Schulweg bleibt der individuelle Wert. Die Verteilung sieht wie folgt aus:<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/ludwig.in-chemnitz.de\/chrono\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/grafik.png\")
<\/figure>\n\n\n\nIn der Variante B \u00fcbernehme ich die Zeit, die ein Sch\u00fcler bisher gebraucht hat vom Aufstehen bis zum Schulbeginn und addiere sie zu der nat\u00fcrlichen Aufwachzeit. Dann ergibt sich folgende Verteilung:<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/ludwig.in-chemnitz.de\/chrono\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/grafik-2.png\")
<\/figure>\n\n\n\nDie Variante C nimmt nur die Verteilung der Aufwachzeit und verschiebt sie um den Durchschnitt der Schulwege (~30min) sowie der pers\u00f6nlichen Zeit am Morgen (~1h):<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/ludwig.in-chemnitz.de\/chrono\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/grafik-3.png\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nDie Variante C hat den Vorteil, dass nur die nat\u00fcrliche Aufwachzeit verschoben wurde. So handelt es sich hier weiterhin um eine Normalverteilung, f\u00fcr die ich eine Funktion angeben kann.<\/p>\n\n\n\n
Die Verteilungen sehen auf dem ersten Blick sehr \u00e4hnlich aus. Mit Mittelwert und Standardabweichung, kann man die Kurven sehr gut vergleichen. Um auf die Forschungsfrage zur\u00fcck zu kommen, ob die Schule zu zeitig beginnt, ermittele ich au\u00dferdem den Prozentsatz an Sch\u00fclern, die 7:35 Uhr oder eher bereit f\u00fcr die Schule w\u00e4ren. Als gute Gr\u00f6\u00dfe um Ausrei\u00dferwerte zu vernachl\u00e4ssigen wird der Median statt des Mittelwertes genutzt.<\/p>\n\n\n\n
<\/td> Variante A<\/td> Variante B<\/td> Variante C<\/td> Variante C*<\/td><\/tr> Mittelwert<\/td> 9:26 Uhr<\/td> 9:26 Uhr<\/td> 9:26 Uhr<\/td> 9:28 Uhr*<\/td><\/tr> Standardabweichung<\/td> 1h 5 min<\/td> 1h 9 min<\/td> 1h 9 min<\/td> 1h 12 min*<\/td><\/tr> Teilnehmer, die 7:35 Uhr bereit sind<\/td> 6<\/td> 4<\/td> 5<\/td> <\/td><\/tr> Prozentsatz<\/td> 3,8%<\/td> 2,8%<\/td> 3,2%<\/td> 5,8%<\/td><\/tr> Median<\/td> 9:22 Uhr<\/td> 9:21 Uhr<\/td> 9:17 Uhr<\/td> <\/td><\/tr><\/tbody><\/table> *Diese Werte wurden aus der Normalverteilungsfunktion berechnet, gegen die zu Anfang mit dem dem \u03a7\u00b2Anpassungstest gepr\u00fcft wurde.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n Egal, welche Variante ich w\u00e4hle, es wird klar, dass die Schule deutlich zu zeitig anf\u00e4ngt. Einen optimalen Schulbeginn gibt es nicht. Am besten w\u00e4re es nat\u00fcrlich, die Schule w\u00fcrde zwischen der sp\u00e4testen Aufwachzeit und der fr\u00fchesten Einschlafzeit liegen. Das w\u00e4re zwischen 12 (+Schulweg) und 21 (-Schulweg) Uhr. Da aber in der Gesellschaft verankert ist, dass die Schule vormittags beginnt, damit nachmittags und abends Zeit f\u00fcr Hobbys ist, wird dieser Plan schwierig. Ein Kompromiss w\u00e4re sicherlich der Median, also die Schule ungef\u00e4hr um 10 vor halb 10 beginnen zu lassen. Realistisch ist das allerdings immer noch nicht. Im s\u00e4chsischen Schulgesetz (Schulordnung Gymnasien Abiturpr\u00fcfung \u00a7 19 Absatz 2) ist der Schulbeginn zwischen 7 und 9 vorgeschrieben. Damit w\u00e4re aus biologischer Sicht 9:00 Uhr am besten. Bezieht man noch den \u00d6PNV ein, w\u00e4re zun\u00e4chst 8:35 Uhr anzustreben, da das f\u00fcr unsere Schule kaum einen Unterschied macht, weil die allermeisten Busse, Bahnen und Z\u00fcge mindestens st\u00fcndlich fahren.<\/p>\n\n\n\n
2. F\u00e4llt es einem Teenager mit zunehmendem Alter immer schwerer, zeitig aufzustehen?<\/h4>\n\n\n\n
F\u00fcr die Sch\u00e4tzung einer Regressionsgerade werden zun\u00e4chst die Wertepaar in ein Koordinatensystem eingetragen.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/ludwig.in-chemnitz.de\/chrono\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/grafik-4.png\")
<\/figure>\n\n\n\nMan erkennt eine Punktwolke mit linearer Tendenz. Die St\u00e4rke kann mit dem Korrelationskoeffizient r ausgedr\u00fcckt werden.<\/p>\n\n\n\n
r=\\frac{\\sum (X_i-\\bar X)(Y_i-\\bar Y)}{\\sqrt{\\sum(X_i – \\bar X)^2 \\sum(Y_i-\\bar Y)^2}}\n= \\frac {\\sum XY – \\frac {1}{n}(\\sum X )(\\sum Y )} {\\sqrt{(\\sum X^2-\\frac{1}{n}(\\sum X)^2)(\\sum Y^2 -\\frac{1}{n} (\\sum Y)^2) } }<\/div>\n\n\n\nmit X<\/em> = Alter und Y<\/em> = Chronotyp<\/p>\n\n\n\n
Aus den Daten ergibt sich:<\/p>\n\n\n\n
\\sum X= 2163; \\qquad \\sum X^2=31181 \\\\\n\\sum Y= 25.15; \\qquad \\sum X^2=4.575 \\\\\n\\sum XY = 360.033 \\quad \\text{Einheit der Chronotyps: 1 Tag}<\/div>\n\n\n\nNach einsetzen erh\u00e4lt man<\/p>\n\n\n\n
r=\\frac{360.033 – \\frac{1}{155}*2163*25.15}{\\sqrt{(31181-\\frac{1}{155}*2163^2)(4.575-\\frac{1}{155}*25.15^2)}}\n=\\frac{9.9069}{\\sqrt{996.684*0,494}}\n\\approx 0,41<\/div>\n\n\n\nDamit liegt ein stochastischer linearer Zusammenhang mittlerer St\u00e4rke vor. Die Art der linearen Abh\u00e4ngigkeit wird durch bYX<\/sub><\/em> vorgegeben.<\/p>\n\n\n\n
b_{yx}=\\frac{\\sum (X_i – \\bar X)(Y_i – \\bar Y)}{\\sum (X_i – \\bar X)^2}=\\frac{\\sum XY – \\frac{1}{n}\\sum X\\sum Y}{\\sum(X_i – \\bar X)^2}\n= \\frac {9.069}{996.684}\n\\approx 0.0091\\text{d}=13.1\\text{min}<\/div>\n\n\n\nDas bedeutet, der Chronotyp verschiebt sich mit zunehmendem Alter in der Jugend um durchschnittlich 13,1 Minuten nach hinten pro Jahr.<\/p>\n\n\n\n
Spannend ist aber nicht alleine der Chronotyp. Denn wenn sich die Schlafdauer verk\u00fcrzt, k\u00f6nnte es sein, dass dieser Effekt gar keine Rolle spielt. Deswegen betrachte ich nun die biologische Aufwachzeit in Abh\u00e4ngigkeit des Alters.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/ludwig.in-chemnitz.de\/chrono\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/grafik-7.png\")
<\/figure>\n\n\n\nDie Punktwolke ist dichter, daf\u00fcr scheint die lineare Abh\u00e4ngigkeit deutlich geringer zu sein. Ich berechne erneut r und bYX<\/sub> mit X = Alter und Y = biologische Aufwachzeit. Aus den Umfrage Daten erh\u00e4lt man:<\/p>\n\n\n\n
\\sum X= 2163; \\qquad \\sum X^2=31181 \\\\\n\\sum Y= 50.87; \\qquad \\sum X^2=17.05 \\\\\n\\sum XY = 713.433 \\quad \\text{Einheit der Chronotyps: 1 Tag}<\/div>\n\n\n\nr=\\frac{713.433 – \\frac{1}{155}*2163*50.87}{\\sqrt{(31181-\\frac{1}{155}*2163^2)(17.05-\\frac{1}{155}*50.87^2)}}\n=\\frac{3.5504}{\\sqrt{996.684*0,355}}\n\\approx 0,189<\/div>\n\n\n\nHier liegt nur noch stochastische Abh\u00e4ngigkeit schwacher St\u00e4rke vor.<\/p>\n\n\n\n
b_{yx}= \\frac {3.5504}{996.684}\n\\approx 0.0036\\text{d}=5.1\\text{min}<\/div>\n\n\n\nDas bedeutet mit zunehmendem Alter wachen Jugendliche um durchschnittlich 5,1 Minuten sp\u00e4ter auf pro Jahr. Das w\u00fcrde f\u00fcr Zw\u00f6lftkl\u00e4ssler einen sp\u00e4teren Unterichtsbeginn von ca. 30 min rechtfertigen. Praktisch l\u00e4sst sich so eine kleine Differenz im Schulalltag nicht ber\u00fccksichtigen. Man kann aber f\u00fcr die Oberstufe statt der 1. Stunde lieber am Nachmittag noch eine Stunde l\u00e4nger unterrichten. In eine Empfehlung f\u00fcr die Schule w\u00fcrde ich dies aber nicht mit einbeziehen, da ein allgemeiner sp\u00e4terer Schulanfang viel mehr Nutzen bringt als diese Ber\u00fccksichtigung der altersspezifischen Unterschiede.<\/p>\n\n\n\n
3. Gibt es einen Unterschied zwischen M\u00e4dchen und Jungen bez\u00fcglich der Schlafenszeiten?<\/h4>\n\n\n\n
Zun\u00e4chst trenne ich die Stichproben nach m\u00e4nnlich und weiblich. Ich erhalte nun zwei Verteilungen, deren Mittelwerte ich vergleichen m\u00f6chte.<\/p>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/ludwig.in-chemnitz.de\/chrono\/wp-content\/uploads\/2020\/05\/grafik-8.png\")
<\/figure>\n\n\n\n<\/td> m\u00e4nnlich<\/td> weiblich<\/td><\/tr> Stichprobenumfang<\/td> 100<\/td> 55<\/td><\/tr> Anzahl Klassen<\/td> 8<\/td> 5<\/td><\/tr> Mittelwert<\/td> 3:59 Uhr<\/td> 3:42 Uhr<\/td><\/tr> Varianz<\/td> 1,95 h\u00b2<\/td> 1,57 h\u00b2<\/td><\/tr> Standardabweichung<\/td> 1,396 h<\/td> 1,252 h<\/td><\/tr> X\u00b2<\/td> 6,989<\/td> 15,337<\/td><\/tr> Statistische Signifikanz<\/td> 70%<\/td> 99,9%<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n Mittels t-Test kann ich nun \u00fcberpr\u00fcfen, ob die Mittelwerte \u00fcbereinstimmen oder nicht.<\/p>\n\n\n\n
\\hat z = \\frac{3:59 – 3:42}{\\sqrt{\\frac{1.95}{100}+\\frac{1.57}{55}}}\n=\\frac{0.283 \\bar 3}{0.2191}\n=1.2926\n>1.282\n=z_{0.10}<\/div>\n\n\n\nDamit kann die Nullhypothese, dass die Mittelwerte der zwei Gruppen \u00fcbereinstimmen, auf dem 10%-Niveau abgelehnt werden. Die hier \u00fcbliche Grenze ist 1%, damit man annehmen kann, dass es sich um zwei unterschiedliche Gruppen handelt. Hier ist in einem von 10 F\u00e4llen doch kein Unterschied zwischen M\u00e4dchen und Junge. Damit kann ich \u00fcber den Unterschied zwischen M\u00e4dchen und Jungen keine belastbare Aussage treffen<\/p>\n\n\n\n
- b<\/em> \u2013 Klassenbreite<\/li>